【助けてくれ！】退職したいんだけどさ

派遣元をAとする
派遣先をBとする
転職予定先をCとする

5月初めに、B上司と面談して予定として5月末にBを退職し、有給休暇消化で6月中旬にAを退職して自由になり、7月1日からCで働く予定だった
しかし、A上司から退職の件で話があると呼び出され、突如として「Bから『6月末までウチで働いてほしい』と言われたので7月に有給休暇消化して7月中旬にAを退職するようできないか？」という内容だった
俺は「え？困ります！当初は5月末という段取りでしたよね？こっちもそんなに引き伸ばせません！」と言ったらめっちゃA上司から「バイトじゃないんだから契約期間（AとBは俺を6月末までとの労使契約してたらしい）まで責任持ってやれ！」と言われたんだ
これ、どうしたらいい？
有給休暇消化込みで6月末でAを退社ならCも7月1日からでいいよって言ってくれたから譲歩できるけど、7月ずれ込みはさすがに俺もプッチンプリンなんだが💢
退職したいのにさせてくれませんって労基に言うべきか？